Vier-Farben-Satz und Mobilfunksendetechnik

Als der südafrikanische Mathematiker und Botaniker Francis Guthrie 1852 eine farbige Landkarte der englischen Grafschaften entwarf, fand er heraus, dass er immer nur vier verschiedene Farben benötigte, um die Karte so einzufärben, dass benachbarte Ländereien nicht in der gleichen Farbe markiert waren. Er probierte dies auch mit anderen Karten, auch mit selbst entworfenen, sehr komplizierten Karten, und immer wieder stellte er fest: Man braucht nur vier Farben. Dass drei Farben nicht reichen, zeigt ein einfaches Beispiel (Bild 1). Aber, und diese Fragen stellen sich nun mal Mathematiker: Reichen für jede nur erdenkliche Landkarte wirklich immer nur vier Farben? Eine Einschränkung müssen wir machen: Die Landkarte darf keine Exklaven enthalten, das heißt, ein Land darf nicht in mehrere nicht zusammenhängende Gebiete zersplittert sein, da dadurch schon eine Einfärbung vorgegeben wäre. Francis Guthrie teilte seine Vermutung dem Londoner Mathematiker Augustus de Morgan mit, und von da an wurde das Problem in der mathematischen Community diskutiert. So einfach das Problem zu verstehen ist, so schwierig war es zu beweisen. Es gab eine ganze Reihe von Versuchen, unter anderem von dem Juristen Alfred Kempe, dessen Beweis von 1879 sich 1890, also elf Jahren später, als falsch herausstellte. Nach weiteren Rückschlägen versuchte man sich erst einmal an einem Fünf-Farben-Satz. Einen Beweis hierfür gab Percy Heawood an. Er hat damit eine beliebte Strategie unter Mathematikern angewandt: zunächst das Problem vereinfachen und dabei Beweisideen für das eigentliche Problem generieren. Aber trotz allem, das Problem widersetzte sich einer schönen, geschlossenen Lösung. Es war klar, dass das Problem nur von der Konstellation der Länder auf der Landkarte abhängig war und man sich also „nur“ um diese Konstellation Gedanken machen musste. Da es aber schier unüberschaubar viele davon gibt, hatte Heinrich Heesch die Idee, den Beweis mit einem Computer durchzuführen. Er entwickelte dazu 1950 ein erstes Verfahren, aber erst in den 70er-Jahren des letzten Jahrhunderts präsentierten Kenneth Appel und Wolfgang Haken einen Algorithmus, mit dem der Vier-Farben-Satz bewiesen werden konnte. Viele Mathematiker empfanden den Beweis aber als sehr unschön beziehungsweise lehnten den Algorithmus als Beweis ab. Man hat weitere Versuche unternommen, den Beweis so zu gestalten, dass er ohne Computer auskommt, aber es gibt bis heute keinen. Interessanterweise findet die Aussage des Vier-Farben-Satzes bei der flächendeckenden Mobilfunkabdeckung Anwendung. Jeder Mobilfunkmast deckt ein bestimmtes Gebiet ab – entspricht also einem Land auf der Landkarte. Verlässt nun ein Handybenutzer das Gebiet, so wechselt das Mobiltelefon automatisch in die Frequenz des Nachbargebietes. Diese neue Frequenz muss anders als die des Nachbargebietes sein, um Interferenzen und damit Funklöcher zu vermeiden. Man sieht, es handelt sich letztendlich um die gleiche Frage wie beim Vierfarbenproblem. Die Mobilfunkfirmen wissen dadurch, dass sie nur vier verschiedene Frequenzen benötigen, um ihr gesamtes Gebiet sicher abzudecken. Es ist wie immer: Mathematiker sind ihrer Zeit voraus.